Синтезатор - самая популярная и продаваемая вещь - никаких проблем с подключением, всё работает, нужно только подключить в розетку. Обычно идёт со встроенными стерео колонками по бокам, с предустановленными заводскими пресетами звуков. От обычного пианино, до всяких скрипок, ударных, различных звуков и целого симфонического оркестра. Для выступлений достаточно подключить к микшеру (или усилителю и колонкам) аудио кабелем. Недостаток синтезаторов - это ограниченность в возможностях и качества синтеза. То есть что купили - то и будет. Если синтезатор дешёвый - соответственно хорошего качества от него ожидать не стоит. Если дорогой - то он должен поддерживать и самостоятельный модуль синтеза, для создания своих звуков.

Существуют комбо-синтезаторы, которые могут работать как MIDI контроллер, так и синтезатор соответственно. Возможно это самый оптимальный, бюджетный вариант, для живых выступлений, а так же для эксперементов работы на компьютере, с миди командами (об этом чуть позже).

Электропианино - обычное электро пианино :) Как электро гитара, только электро пианино. Такие используют в джазе\в блюзе, во всяких барах и джаз-клубах. Намного легче его подготовить к выступлению чем рояль, чью динамику тяжело контролировать, в маленьком месте, с другими инструментами группы. Возможно такое пианино работает на основе синтеза звука, а может это и предварительно записанные сэмплы. Но в синтезаторах есть возможность выбрать пресет как акустичего пианино, так и электро. На сколько качественный будет звук и чувствительность клавиш - зависит от цены и самого синтезатора.

2. Мне надо не только записать в компьютер, но иметь возможность играть в живую на этом инструменте (например на конкурсе). Что выбрать?
Надеюсь описания помогут сделать выбор. В первую очередь всё зависит от бюджета. Если это необходимо для профессиональной работы, то лучше взять что то достойное, если это всего лишь хобби - то можно обойтись бюджетным синтезатором. Сколько клавиш необходимо, 49/61/88?

3. Есть ли возможность как-то чтобы играл на клавишах, а в компьютере записывались ноты на нотный стан, и еще бы расставлялись правильно длительности, тактовые черточки и прочее, а потом взял на принтере распечатал листочек, и у тебя готовые ноты твоего произведения.
Midi команды именно эту информацию и посылают на компьютер (или модуль синтезатора), и лишь после обработки этих команд мы слышим звук. Их легко можно записать, перевести в ноты (и распечатать), после записи редактировать (если были сделаны ошибки при игре), изменять звучание на другой инструмент (используя компьютерные плагины вирт. инструментов), изменить темп композиции, высоту нот и многое другое. MIDI - очень мощный инструмент для композиторов. Особенно если есть хороший миди контроллер (цена может варьироваться от 600$ до 800$).

Записав на компьютер звук синтезатора - в будущем не возможно изменить. Если допущена ошибка придётся переписывать (но можно сделать Punch in, перезаписав лишь определённый момент, не начиная с начала). В этом случае мы работаем со звуком, а не с командами midi.

Поэтому комбо вариант, совмещающий в себе миди контроллер и синтезатор - на мой взгляд, является идеальным вариантом. (midi требует покупку аудио интерфейса)